三元一次方程的解法主要包括以下几种：

加减消元法

通过对方程组中两个或更多方程的适当加减，使得其中一个未知数的系数相等（或互为相反数），从而消去该未知数。

例如，对于方程组：

\[

\begin{cases}

x + y + z = 10 \\

2x + y - z = 5 \\

x - y = 1

\end{cases}

\]

可以先选择②和③进行消元，得到：

\[

3x = 6 \implies x = 2

\]

将 \（ x = 2 \） 代入③中，得到：

\[

y = 1

\]

最后，将 \（ x = 2 \） 和 \（ y = 1 \） 代入①中，得到：

\[

z = 7

\]

因此，这个三元一次方程组的解为 \（ x = 2, y = 1, z = 7 \）。

代入法

由一个方程解出一个未知数，然后将其代入其他方程中，从而消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。

例如，对于方程组：

\[

\begin{cases}

3y = 2x \\

5z = y \\

x + y + z = 10

\end{cases}

\]

可以由第一个方程得 \（ y = \frac{2}{3}x \），代入第二个方程得 \（ z = \frac{1}{15}x \），然后代入第三个方程：

\[

x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{15}x = 10

\]

解得 \（ x = 3 \），进而求得 \（ y = 2 \） 和 \（ z = \frac{2}{5} \）。

技巧法

利用比例关系简化方程组，然后通过代入或加减消元求解。

例如，对于方程组：

\[

\begin{cases}

x : y = 15 : 10 \\

y : z = 10 : 2

\end{cases}

\]

可以设 \（ x = 15k \）， \（ y = 10k \）， \（ z = 2k \），然后代入第三个方程：

\[

15k + 10k - 2k = 21 \implies k = 1

\]

从而求得 \（ x = 15 \）， \（ y = 10 \）， \（ z = 2 \）。

代换消元法

通过将一个方程中的某个未知数用另一个未知数表示，然后代入其他方程中，逐步消去未知数。

例如，对于方程组：

\[

\begin{cases}

x + y + z = 10 \\

2x + y - z = 5 \\

x - y = 1

\end{cases}

\]

可以将第三个方程代入前两个方程，得到一个二元一次方程组，然后解出两个未知数，再代入求第三个未知数。

整体代入法

将方程组中的某个方程整体代入其他方程中，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。

例如，对于方程组：

\[

\begin{cases}

x + y + z = 10 \\

2x + y - z = 5 \\

x - y = 1

\end{cases}

\]

可以将 \（ x + y + z = 10 \） 代入 \（ 2x + y - z = 5 \），得到：

\[

2x + y - （10 - x） = 5 \implies 3x - 10 = 5 \implies x = 5

\]

然后代入 \（ x - y = 1 \） 求得 \（ y \），再代入 \（ x + y + z = 10 \） 求得 \（ z \）。

平衡