高等数学中的组合公式主要用于计算从n个不同元素中选取m个元素的不同组合方式的数量，其核心公式及性质如下：

一、组合数公式

基本公式

$$C_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)! \cdot m!}$$

其中，$n!$ 表示n的阶乘，即 $n! = n \times （n-1） \times \dots \times 1$。

计算示例

例如计算 $C_{7}^{3}$：

$$C_{7}^{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$。

二、排列数公式

排列数表示从n个不同元素中选取m个元素并考虑顺序的排列方式数量，公式为：

$$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-m+1)$$。

三、组合数与排列数的关系

$$C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{m!}$$

即组合数是排列数除以m的阶乘，反映了选取m个元素不考虑顺序的情况。

四、性质与记忆技巧

对称性

$$C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}$$

例如 $C_{10}^{3} = C_{10}^{7}$。

递推公式

$$C_{n+1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m-1}$$

例如 $C_{5}^{3} = C_{5}^{2} + C_{5}^{3}$。

记忆规律

- 分子为倒序阶乘：$C_{n}^{m} = \frac{n \times （n-1） \times \dots \times （n-m+1）}{m \times （m-1） \times \dots \times 1}$

- 特殊情况：$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$，$C_{n}^{1} = C_{n}^{n-1} = n$。

五、应用场景

概率与统计：

计算事件的可能性，如从n个球中取m个球的组合数。

二项式定理：$（a + b）^n$ 展开式中各项的系数由组合数决定。

泰勒展开式：涉及多项式函数的近似计算。

以上公式是高等数学中组合数学的基础，掌握后对于解决排列组合问题及微积分中的极限、导数等计算有重要应用价值。