多普勒效应的公式推导如下：

基本公式

设声源 $S$ 和观察者 $L$ 分别以速度 $V_s$ 和 $V_l$ 在静止的介质中沿同一直线同向运动，声源发出声波在介质中的传播速度为 $V$，且 $V_s$ 和 $V_l$ 都小于 $V$。当声源不动时，声源发射频率为 $f$，波长为 $\lambda$ 的声波，观察者接收到的声波的频率为：

$$

f' = \frac{V + V_l}{V - V_s} f

$$

其中，$f'$ 是观察者接收到的频率，$f$ 是声源发射的频率。

特殊情况

当观察者和波源都不动时，$V_s = 0$，$V_l = 0$，由上式得：

$$

f' = f

$$

当观察者不动，声源接近观察者时，观察者接收到的频率为：

$$

f' = \frac{Vf}{V - V_s}

$$

显然此时频率大于原来的频率。

相对运动公式

对于接收者和发射者之间的相对运动，可以使用以下公式：

$$

f' = f \left(1 - \frac{v}{c}\right)

$$

其中，$f'$ 表示接收到的频率，$f$ 表示发射频率，$v$ 表示相对速度，$c$ 表示光速。

波长变化

同样地，可以使用以下公式计算接收到的波长：

$$

\lambda' = \lambda \left(1 + \frac{v}{c}\right)

$$

其中，$\lambda'$ 表示接收到的波长，$\lambda$ 表示发射的波长。

相对论多普勒频移公式

对于光波，多普勒效应的计算公式为：

$$

f' = f \left(\frac{c - v}{c + v}\right)^{\frac{1}{2}}

$$

其中，$f'$ 是观察者实测到的光频率，$f$ 是光源的固有频率，$v$ 是观察者相对于光源的速度。

普遍多普勒效应公式

普遍多普勒效应的公式为：

$$

f' = f \left(\frac{1 - \beta^2}{1 + \beta \cos \theta}\right)^{\frac{1}{2}}

$$

其中，$\beta = \frac{v}{c}$ 是相对速度，$\theta$ 为接收器与波源的连线到速度方向的夹角。

这些公式涵盖了声波及光波的多普勒效应，适用于不同的运动情况和观测条件。通过这些公式，可以计算出相对运动对频率和波长的影响。