组合数公式用于计算从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并成一组的组合数，记作C（n, m）或$\binom{n}{m}$。其计算公式为：

$$C(n, m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

其中：

$n!$ 表示n的阶乘，即 $n \times （n-1） \times （n-2） \times \ldots \times 1$。

$m!$ 表示m的阶乘，即 $m \times （m-1） \times （m-2） \times \ldots \times 1$。

$（n-m）!$ 表示 $（n-m）$ 的阶乘，即 $（n-m） \times （n-m-1） \times （n-m-2） \times \ldots \times 1$。

这个公式的基本思想是：

1. $n!$ 表示从n个元素中选取所有元素的排列数。

2. $m!$ 表示从这n个元素中选取m个元素的排列数。

3. $（n-m）!$ 表示从剩下的 $n-m$ 个元素中选取所有元素的排列数。

由于在组合中元素的顺序是不重要的，所以我们需要除以 $m!$ 和 $（n-m）!$ 以消除重复的排列。

递推公式

组合数公式还有一个递推公式，用于简化计算，尤其是当n和m的值较大时：

$$C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)$$

对称性

组合数还具有对称性，即：

$$C(n, m) = C(n, n-m)$$

这意味着从n个元素中选取m个元素的组合数等于从n个元素中选取 $n-m$ 个元素的组合数。

示例

例如，计算C（5, 2）：

$$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

实际应用

在实际应用中，组合数公式常用于各种组合问题，如排列组合、概率论、统计学等。

总结

组合数公式是计算从n个不同元素中任取m个元素并成一组的组合数的标准方法。通过使用阶乘和递推公式，可以有效地计算出组合数，并且利用对称性可以进一步优化计算过程。