幂函数的泰勒公式如下：

基本形式

泰勒公式在 $x = a$ 处展开为：

$$

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n + \cdots

$$

其中，$f^{（n）}（a）$ 表示函数 $f$ 在 $x = a$ 处的第 $n$ 阶导数，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。

系数推导

设幂级数为：

$$

f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots

$$

令 $x = a$，则 $a_0 = f（a）$。

对上述幂级数求一阶导数：

$$

f'(x) = a_1 + 2a_2(x-a) + 3a_3(x-a)^2 + \cdots

$$

令 $x = a$，则 $a_1 = f'（a）$。

继续求导，可以得到：

$$

f''(x) = 2!a_2 + 3!a_3(x-a) + \cdots

$$

令 $x = a$，则 $a_2 = \frac{f''（a）}{2!}$。

通过递归，可以得到：

$$

a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}

$$

因此，幂函数的泰勒公式为：

$$

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots

$$

余项

泰勒公式还包括一个余项 $R_n（x）$，表示当 $x$ 接近 $a$ 时，用泰勒多项式近似函数的误差。余项 $R_n（x）$ 的表达式为：

$$

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

$$

其中，$\xi$ 是介于 $x$ 和 $a$ 之间的某个值。

应用

泰勒公式在数学和物理领域有广泛应用，特别是在需要近似计算和理论分析的情况下。如果函数 $f$ 在 $x = a$ 处足够平滑（即具有任意阶导数），则可以用这些导数值构建一个多项式来近似函数在 $a$ 点附近的值，并且可以量化这个多项式与实际函数值之间的偏差。

总结起来，幂函数的泰勒公式是通过在某一点 $a$ 处展开函数 $f（x）$ 及其导数，构建一个多项式来近似函数在该点附近的值，并给出了多项式与实际函数值之间的误差估计。这个公式在数学分析和实际应用中非常重要。