正切函数 $y = \tan x$ 是一种基本的三角函数，具有以下性质和图像特征：

定义域

正切函数的定义域是所有实数，除了使得分母为零的点，即 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。

值域

正切函数的值域是全体实数，即 $R$。

周期性

正切函数是周期函数，其最小正周期为 $\pi$。

奇偶性

正切函数是奇函数，满足 $\tan（-x） = -\tan x$。

对称性

正切函数的图像关于点 $（\frac{k\pi}{2}, 0）$ 对称，其中 $k \in \mathbb{Z}$。

单调性

在每一个开区间 $（-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi）$ 上，正切函数是单调递增的，其中 $k \in \mathbb{Z}$。

渐近线

正切函数有两条水平渐近线，分别是 $y = 0$（即 $x$ 轴）和 $y = \pm \infty$（当 $x$ 趋近于 $\frac{\pi}{2} + k\pi$ 或 $-\frac{\pi}{2} + k\pi$ 时）。

图像

正切函数的图像在每一个区间 $（-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi）$ 上都是一支单调递增的曲线，且图像关于每个点 $（\frac{k\pi}{2}, 0）$ 中心对称。

建议

在绘制正切函数图像时，可以先在一个周期内（例如 $（-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}）$）绘制基本图像，然后利用周期性进行平移，以得到整个定义域内的图像。

注意正切函数在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处的间断点，并在图像上标出。

通过观察正切函数的图像，可以更直观地理解其单调性和对称性。