正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具。下面是这两个定理的推导过程。
正弦定理的推导
作图
设三角形ABC，其中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。
作AH⊥BC于点H。
利用相似三角形
由于∠A + ∠B + ∠C = π，且AH⊥BC，可以得到∠AHC = ∠BHC = ∠CHA = π/2。
从而有△ABH ∼ △CBH ∼ △CAH。
利用相似三角形的性质
由相似关系可得：
$$
\frac{AH}{BH} = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a}
$$
$$
\frac{AH}{CH} = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{c}
$$
利用正弦定义
由正弦定义可知：
$$
\sin A = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{b}
$$
$$
\sin B = \frac{BH}{BA} = \frac{AH}{a}
$$
$$
\sin C = \frac{CH}{CA} = \frac{AH}{c}
$$
推导正弦定理
将上述比例关系代入，得到：
$$
\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b}
$$
$$
\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{a}{c}
$$
$$
\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c}
$$
综上，正弦定理为：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
余弦定理的推导
作图
设三角形ABC，其中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。
作AH⊥BC于点H。
利用勾股定理
在直角三角形ABD中，有：
$$
AB^2 = AD^2 + BD^2
$$
其中，AD = AH，BD = c·cosB。
代入并整理
代入得：
$$
c^2 = a^2 + （c·cosB）^2
$$
整理得：
$$
c^2 = a^2 + c^2·cos^2B
$$
移项得：
$$
a^2 = c^2 - c^2·cos^2B
$$
进一步整理得：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA
$$
同理推导其他两个余弦定理
在直角三角形ACD中，有：
$$
b^2 = a^2 + （c·cosC）^2
$$
整理得：
$$
b^2 = a^2 + c^2·cos^2C
$$
移项得：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC
$$
总结余弦定理
综上，余弦定理为：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC
$$
$$
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosB
$$
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosA
$$
通过上述推导过程，我们得到了正弦定理和余弦定理的公式。这些定理在解决三角形问题时非常有用，尤其是在已知两边及其夹角或三边长度的情况下。
