兰州东方中学是 民办的。

加拿大不列颠哥伦比亚省（BC省）教育部授权的BC省海外高中：

这表明学校具有国际化的教育背景和合作，但并未直接说明其办学性质。

经兰州市教育局批准成立的民办性质的全日制完全中学：

这明确指出学校是由私人投资并运营的。

兰州东方科教投资有限公司独家投资主办：

进一步证实了学校的民办性质。

综合以上信息，可以确定兰州东方中学是一所民办中学。