棱台体积公式的推导过程如下：

方法一：

利用三角形的面积公式

首先，计算底面积为正n边形的面积，使用正n边形的面积公式：$$S=\frac{1}{2}n\cdot r$$，其中r为正n边形的内切圆半径。

已知$$r=\frac{a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$$，将r代入上式，得到底面积为正n边形的面积为：$$S=\frac{1}{2}n\cdot \left(\frac{a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})}\right)^2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})$$。

然后，计算n个三角形的面积之和。每个三角形的面积为$$\frac{1}{2}a\cdot h$$，所以n个三角形的面积之和为：$$A_{tri}=\frac{1}{2}n\cdot a\cdot h$$。

整个棱台的体积可以表示为：$$V=S\cdot h+A_{tri}$$。

将计算出的S和$A_{tri}$代入上式，可以得到：$$V=\frac{1}{2}n\cdot \left(\frac{a}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})}\right)^2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})\cdot h+\frac{1}{2}n\cdot a\cdot h$$。

化简上式，得到棱台的体积公式为：$$V=\frac{1}{3}n\cdot \left(\frac{a^2+ab+b^2}{2\cdot \tan(\frac{\pi}{n})}\right)\cdot h$$。

方法二：

利用平行四边形的性质

棱台的每层都可以看成是一个平行四边形，其底边和顶边分别为底面和顶面的多边形边长。

平行四边形的面积可以表示为$$A_{para}=b\cdot h$$，其中b为平行四边形的底边长，h为平行四边形的高度。

通过积分或者相似三角形的方法，可以推导出棱台的体积公式为：$$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$$。

方法三：

利用相似三角形

设棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h1和h2，则有$$\frac{b}{h1}=\frac{a}{h1+h2}$$，所以$$h1=\frac{bh2}{a-b}$$。

棱台的体积公式为：$$V=\frac{1}{3}h(a^2h1+b^2h2+abh1)$$，代入$$h1=\frac{bh2}{a-b}$$，化简得到：$$V=\frac{1}{3}h\left(\frac{a^2bh2}{a-b}+b^2h2\right)=\frac{1}{3}h\left(\frac{a^2bh2+ab^2h2}{a-b}\right)=\frac{1}{3}h\left(\frac{ab(a+b)h2}{a-b}\right)=\frac{1}{3}h\left(\frac{ab(a+b)h2}{a-b}\right)=\frac{1}{3}h\left(\frac{a^2+ab+b^2}{2}\right)h2$$。

综上所述，棱台的体积公式为：

$$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$$。

这个公式是通过多种方法推导出来的，包括利用三角形的面积公式、平行四边形的性质以及相似三角形的方法。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。