定积分的万能公式是 牛顿-莱布尼茨公式，也被称为基本定积分公式。这个公式用于计算定积分，其表达式为：

\[

\int_{a}^{b} f（x） \, dx = F（b） - F（a）

\]

其中，\（ F（x） \） 是 \（ f（x） \） 的一个原函数，即 \（ F'（x） = f（x） \）。

推导过程

牛顿-莱布尼茨公式的推导基于微积分基本定理，该定理将微分和积分联系起来。具体推导过程如下：

分割区间：

将区间 \（[a, b]\） 分成 \（ n \） 个小区间 \（[x_{i-1}, x_i]\），每个小区间的宽度为 \（ \Delta x = \frac{b-a}{n} \）。

近似面积：

在每个小区间上，选择一个点 \（ c_i \），并计算以 \（ c_i \） 为高、以 \（ \Delta x \） 为宽的矩形的面积。

求和：

将所有矩形的面积相加，得到曲线下面积的一个近似值。

取极限：

当 \（ n \） 趋于无穷大，即 \（ \Delta x \） 趋于 0 时，这些矩形面积的和收敛于曲线下面积，即定积分的值。

应用

牛顿-莱布尼茨公式在计算定积分时非常有用，尤其是当被积函数 \（ f（x） \） 的不定积分 \（ F（x） \） 已知时。通过找到 \（ f（x） \） 的原函数 \（ F（x） \），我们可以直接应用公式计算定积分。

示例

假设我们要计算以下定积分：

\[

\int_{0}^{1} x^2 \, dx

\]

首先，找到 \（ x^2 \） 的一个原函数：

\[

F（x） = \frac{x^3}{3}

\]

然后，应用牛顿-莱布尼茨公式：

\[

\int_{0}^{1} x^2 \, dx = F（1） - F（0） = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}

\]

因此，定积分 \（\int_{0}^{1} x^2 \, dx\） 的值为 \（\frac{1}{3}\）。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中最重要的工具之一，掌握它对于解决各类数学问题至关重要。