正切函数是数学中的一种三角函数，通常用符号 `tan` 表示。它是一个角的正切值的函数，其定义如下：

直角三角形定义

正切函数定义为直角三角形中一个角的对边与邻边的比值。如果角为 $\theta$，则 $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。

单位圆定义

在单位圆中，正切函数也可以通过坐标来定义。如果角 $\alpha$ 满足 $\alpha \in \mathbb{R}$ 且 $\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$），那么角 $\alpha$ 与单位圆交于点 $P（a, b）$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是点 $P$ 的横坐标和纵坐标。此时，角 $\alpha$ 的正切值可以表示为 $\tan \alpha = \frac{b}{a}$。

弧度与角度转换

在进行角度和弧度之间的转换时，可以将角度乘以 $\frac{\pi}{180}$ 转换为弧度，将弧度乘以 $\frac{180}{\pi}$ 转换为角度。

性质

正切函数是奇函数，其图像关于原点对称。正切函数的周期为 $\pi$，即 $\tan（\theta + \pi） = \tan \theta$。

定义域与值域

正切函数的定义域是所有不等于 $\frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）的实数。其值域是整个实数集 $\mathbb{R}$。

综上所述，正切函数可以通过直角三角形中的对边与邻边之比，或单位圆中的纵坐标与横坐标之比来定义。它在数学、物理等领域有广泛的应用，特别是在处理与角度和三角函数相关的问题时。