三元一次方程的解法主要包括 消元法和 代入法。以下是这两种方法的详细步骤：

消元法

观察方程组：

首先观察方程组，看是否有可以直接通过加减消去一个未知数的方程。

消元：

选择一个未知数作为目标进行消元，通常选择系数较为简单或容易化为简单的未知数进行消元。可以通过对方程组中两个或更多方程的适当加减，使得其中一个未知数的系数相等（或互为相反数），从而消去该未知数。

转化为二元一次方程组：

经过消元后，原三元一次方程组将转化为一个二元一次方程组和一个一元一次方程（或两个二元一次方程组，视情况而定）。

解二元一次方程组：

使用二元一次方程组的解法（如代入法、加减消元法等）解出剩下的两个未知数。

代入求解第三个未知数：

将已求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个含有三个未知数的方程中，解出第三个未知数。

检验解是否合理：

将计算出的解带入原始的方程组中进行检验，确保每个解都是对应的三个方程都成立的。

代入法

选择一个简单的变量：

将其中一个未知数表示为其他变量的函数，然后将其代入原方程中，得到一个或两个一元一次方程。

消元：

通过消除两个变量，将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。

解二元一次方程组：

使用二元一次方程组的解法（如代入法、加减消元法等）解出剩下的两个未知数。

代入求解第三个未知数：

将已求出的两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值。

检验解是否合理：

将计算出的解带入原始的方程组中进行检验，确保每个解都是对应的三个方程都成立的。

示例

对于以下三元一次方程组：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 10 \quad （1） \\

2x + y - z = 5 \quad （2） \\

x - y = 1 \quad （3）

\end{cases}

$$

我们可以先选择方程②和③进行消元，得到：

$$

\begin{cases}

3x = 6 \\

x = 2

\end{cases}

$$

将 $x = 2$ 代入方程③中，得到：

$$

y = 1

$$

最后，将 $x = 2$ 和 $y = 1$ 代入方程①中，得到：

$$

z = 7

$$

因此，这个三元一次方程组的解为 $x = 2, y = 1, z = 7$。

总结

求解三元一次方程的关键在于通过消元法或代入法将三元一次方程组逐步化简为二元一次方程组或一元一次方程，然后求解出所有未知数的值。在求解过程中，要注意检验解是否满足原方程组，以确保解的正确性。