幂函数是数学中一种基本初等函数，其形式和性质如下：

一、定义

形如 $y = x^a$（其中 $a$ 为常数）的函数称为幂函数。需要注意的是：

1. 系数必须为1，即函数表达式不能包含其他项（如 $y = 2x^3$ 不是幂函数）；

2. 指数 $a$ 可以是任意实数，包括有理数和无理数。

二、常见形式与示例

正整数指数 ：$y = x^2$（抛物线）、$y = x^3$（立方函数）；

负整数指数：

$y = x^{-1} = \frac{1}{x}$（反比例函数）；

零指数：

$y = x^0 = 1$（常数函数，需注意定义域 $x \neq 0$）；

分数指数：

$y = x^{1/2} = \sqrt{x}$（根号函数）。

三、图像与性质

定义域

- 当 $a > 0$ 时，定义域为 $x \geq 0$（如 $y = \sqrt{x}$）；

- 当 $a < 0$ 时，定义域为 $x \neq 0$（如 $y = \frac{1}{x}$）；

- 当 $a = 0$ 时，定义域为 $x \neq 0$。

值域

- 正指数函数：$y > 0$；

- 负指数函数：$y > 0$；

- 零指数函数：$y = 1$。

单调性

- 当 $a > 0$ 时，函数在 $（0, +\infty）$ 上单调递增；

- 当 $a < 0$ 时，函数在 $（0, +\infty）$ 上单调递减。

奇偶性

- 当 $a$ 为偶数时，函数为偶函数（如 $y = x^2$）；

- 当 $a$ 为奇数时，函数为奇函数（如 $y = x^3$）。

四、特殊说明

幂函数图像必须出现在第一象限和第三象限（当 $a$ 为负数时）；

幂函数不包含线性函数（如 $y = 2x$）。

五、求法示例

计算具体值：

如 $f（2） = 2^3 = 8$；

求导数：

若 $y = x^n$，则 $y' = nx^{n-1}$；

积分：

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）。

通过以上内容，可以系统地理解幂函数的定义、形式及其图像与性质。