矩阵的行列式运算法则主要包括以下内容，综合多个来源整理如下：

一、基本计算方法

二阶矩阵

行列式计算公式为：

$$\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

其中 $a_{ij}$ 表示矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

三阶矩阵

可通过展开某一行（如第一行）计算：

$$\det(A) = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}$$

其中 $C_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

高阶矩阵

一般通过递归展开（拉普拉斯展开）或化为三角矩阵后计算。若矩阵为 $n$ 阶，可按以下步骤：

- 交换两行（列）变号：$\det（A） = （-1）^n \det（A'）$

- 某行（列）乘以常数 $k$ 提出：$\det（kA） = k^n \det（A）$

- 某行（列）加上另一行的 $k$ 倍不变：$\det（A + kB） = \det（A）$

- 若某行（列）全为零或两行（列）成比例，则行列式为零。

二、重要性质

交换行（列）

交换两行（列）后行列式变号：$\det（A） = -\det（A'）$。

数乘性质

某行（列）乘以常数 $k$ 可提出：$\det（kA） = k^n \det（A）$。

线性性质

某行（列）加上另一行的 $k$ 倍，行列式不变：$\det（A + kB） = \det（A）$。

零行列式

若某行（列）全为零或两行（列）成比例，则行列式为零：$\det（A） = 0$。

行列式乘积性质

两个矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积：$\det（AB） = \det（A） \cdot \det（B）$。

三、特殊方法

三角化

通过初等行变换将矩阵化为上三角或下三角矩阵，行列式等于对角线元素乘积：

$$\det(A) = \prod_{i=1}^n a_{ii} \quad (\text{上三角矩阵})$$。

克拉默法则

用于解线性方程组，若系数行列式 $D \neq 0$，则方程组有唯一解，解的表达式可通过替换系数行列式得到。

四、注意事项

行列式是标量，计算结果是一个数。

若矩阵不可逆（即行列式为零），则逆矩阵不存在。

以上方法可根据具体问题灵活选择，低阶矩阵推荐直接展开，高阶矩阵建议结合化简与三角化技巧。