抛物线的参数方程及其几何意义如下：

一、常用参数方程形式

对于标准抛物线 $y^2 = 2px$（$p>0$），其参数方程通常表示为：

$$

\begin{cases}

x = 2pt^2 \\

y = 2pt

\end{cases}

$$

其中，$t$ 为参数。

二、参数的几何意义

参数 $t$ 的几何意义

参数 $t$ 表示抛物线上一点 $M（x, y）$ 到焦点 $F\left（\frac{p}{2}, 0\right）$ 的距离与准线 $x = -\frac{p}{2}$ 的距离之比，即：

$$

t = \frac{\text{距离} \, MF}{\text{距离} \, M\text{到准线}}

$$

这一性质使 $t$ 成为抛物线上任意一点与原点连线的斜率的倒数：

$$

t = \frac{y}{x} \quad (\text{当 } x \neq 0)

$$

参数 $p$ 的几何意义

参数 $p$ 是抛物线的焦参数，表示抛物线的焦点 $F\left（\frac{p}{2}, 0\right）$ 到准线 $x = -\frac{p}{2}$ 的距离。

三、其他说明

参数方程的多样性

抛物线的参数方程不唯一，但上述形式是最常用且具代表性的。其他形式如 $x = t^2, y = kt$（顶点在原点）或含旋转参数的方程，分别适用于特定场景（如物理运动轨迹）。

参数方程的应用

参数方程在物理（如抛射运动）、工程和数学领域有广泛应用，例如通过参数 $t$ 可分析物体的速度和位置。

综上，抛物线的参数方程通过参数 $t$ 和 $p$ 简洁地描述了抛物线的几何特性，并与抛物线的焦点、准线等几何元素紧密相关。