二分法是一种高效的数值计算方法，主要用于在有序区间内查找特定值或逼近函数零点。以下是其核心要点和适用场景的详细说明：

一、基本原理

区间二分思想

通过不断将搜索区间一分为二，逐步缩小范围以逼近目标值（如零点或目标元素）。

前提条件

函数在区间$[a, b]$上连续且单调（单调递增或递减）；

$f（a） \cdot f（b） < 0$，确保区间内存在零点。

二、核心步骤

初始化区间

设定初始区间$[a, b]$，满足$f（a） \cdot f（b） < 0$。

计算中点

每次迭代计算中点$m = \frac{a + b}{2}$。

判断与更新区间

若$f（m） = 0$，则$m$即为解；

若$f（m） \cdot f（a） < 0$，则零点在$[a, m]$区间，更新$b = m$；

若$f（m） \cdot f（b） < 0$，则零点在$[m, b]$区间，更新$a = m$。

终止条件

当区间长度小于预设精度$\epsilon$时，停止迭代，返回$m$作为近似解。

三、时间复杂度

二分法的时间复杂度为$O（\log n）$，其中$n$为区间长度。每次迭代将搜索范围减半，因此效率较高。

四、应用场景

单变量函数零点求解

适用于连续且单调的函数，如多项式、三角函数等。

有序数据查找

在预先排序的数组中快速定位元素，时间复杂度为$O（\log n）$，显著优于线性查找。

五、示例：在数组中查找元素

假设有有序数组`nums = [-3, 4, 7, 10, 13, 21, 43, 77, 89]`，查找元素`89`：

1. 初始区间$[0, 8]`，中点$m = 4$，$f（4） = 10$；

2. 因为$89 > 10$，更新区间为$[5, 8]$；

3. 重复上述步骤，最终区间缩小至$[7, 8]$，中点$m = 7.5$，$f（7.5）$与$89$比较后确定最终结果。

六、注意事项

数据预处理：

若数据无序，需先排序（如Python中的`sort（）`）；

边界条件：处理区间长度为1的情况，避免死循环。

二分法通过分治策略实现高效搜索，是算法学习中的经典案例。