Z变换的时移定理是离散时间信号处理中的核心性质之一，描述了信号在时间轴上平移后其Z变换的对应关系。以下是详细说明：
一、时移定理的基本表述
若离散时间信号 $x（n）$ 的Z变换为 $X（z）$，则该信号延迟 $\tau$ 个时间单位后的新信号 $x（n-\tau）$ 的Z变换为：
$$Z\{x(n-\tau)\} = z^{-\tau}X(z)$$
注意：时移方向与 $z$ 的幂次符号相反，即左移对应正幂，右移对应负幂。
二、时移定理的数学推导
考虑离散信号 $x（n）$ 的Z变换：
$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}$$
对于延迟 $\tau$ 的信号 $x（n-\tau）$，其Z变换为：
$$Z\{x(n-\tau)\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n-\tau)z^{-n}$$
通过变量替换 $m = n - \tau$，可得：
$$Z\{x(n-\tau)\} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{-(m+\tau)} = z^{-\tau} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{-m} = z^{-\tau}X(z)$$
从而验证了时移定理。
三、时移定理的应用
信号平移 通过时移定理，可以方便地计算信号平移后的Z变换，例如：
$$Z\{y(n-3)\} = z^{-3}Y(z)$$
$$Z\{y(n) + 6y(n-1) + 7y(n-5)\} = Y(z) + 6z^{-1}Y(z) + 7z^{-5}Y(z)$$。
差分方程求解
在求解线性常系数差分方程时，时移定理常与其他Z变换性质结合使用。例如，一阶差分方程 $y（n） - ay（n-1） = f（n）$ 的Z变换形式为：
$$Y(z) - az^{-1}Y(z) = F(z)$$
通过时移定理将 $y（n-1）$ 转换为 $z^{-1}Y（z）$，从而简化方程求解。
四、注意事项
收敛域变化： 时移可能改变信号的收敛域。例如，原序列收敛域为 $（R^-, R^+）$，延迟 $\tau$ 后可能变为 $（R^- - \tau, R^+ - \tau）$。 双边Z变换
$$Z\{x(n)\} = X(z) \cdot \frac{1 - z^{-N}}{1 - \frac{z^{-1}}{z^N}}$$
其中 $N$ 为信号长度。
五、示例总结
以 $y（n） = 2^n u（n）$ 为例，其Z变换为：
$$Y(z) = \frac{z}{z-2}, \quad |z| > 2$$
若延迟 $\tau = 2$，则新信号为 $y（n-2） = 2^{n-2} u（n-2）$，其Z变换为：
$$Z\{y(n-2)\} = z^{-2} \cdot \frac{z}{z-2} = \frac{z^{-1}}{z-2}, \quad |z| > 2$$
验证了时移定理的正确性。
通过以上内容，时移定理为离散时间信号的分析与设计提供了重要工具。
