概率论中的置信区间是用于估计总体参数的一个区间范围，它基于样本数据构建，并反映了这个参数值有一定概率落在这个区间内的可信程度。置信区间的计算公式如下：

对于总体均值μ，在已知标准差的情况下

95%置信区间公式为：

$$

\bar{X} \pm Z \cdot \sigma / \sqrt{n}

$$

其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$Z$ 是标准正态分布下的分位点值（对于95%置信区间，$Z=1.96$），$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。

如果总体标准差未知，需要使用样本标准差代替

95%置信区间公式为：

$$

\bar{X} \pm t \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}

$$

其中，$t$ 是由样本量和置信水平决定的t分布的临界值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量。

对于总体比例

置信区间公式为：

$$

\hat{p} \pm Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

$$

其中，$\hat{p}$ 是样本比例，$Z$ 是标准正态分布下的分位点值（对于95%置信区间，$Z=1.96$），$n$ 是样本量。

这些公式用于计算不同总体参数的置信区间，帮助统计学家在一定的置信水平下对总体参数进行估计和推断。