置信区间的计算公式取决于所用到的统计量以及所给定的置信水平。以下是几种常见的置信区间计算公式：

z分布下的置信区间

当总体标准差已知，且样本容量较大（通常n>30）时，可以使用z分布来计算置信区间。其公式为：

$$

CI = \left\{ \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\}

$$

其中，CI代表置信区间，$\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是z分布的临界值，$\sigma$ 是总体标准差，n是样本容量。

t分布下的置信区间

当总体标准差未知，且样本容量较小时（通常n<=30），我们使用t分布来计算置信区间。其公式为：

$$

CI = \left\{ \bar{x} - t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right\}

$$

其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是t分布的临界值，s是样本标准差。

正态分布下的置信区间（总体标准差未知，样本容量较小）

当总体标准差未知，且样本容量较小时，可以使用正态分布近似计算置信区间。其公式为：

$$

CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

$$

其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是t分布的临界值，s是样本标准差，n是样本容量。

比例置信区间

对于比例或概率的置信区间，其公式为：

$$

CI = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

$$

其中，$\hat{p}$ 是样本比例，$z_{\alpha/2}$ 是z分布的临界值，n是样本容量。

建议

选择合适的分布：根据样本容量和总体标准差是否已知来选择z分布或t分布。

确定置信水平：常见的置信水平为95%，对应的显著性水平α为0.05。

计算临界值：根据所选分布和置信水平查找相应的临界值（如z_{\alpha/2}或t_{\alpha/2, n-1}）。

代入公式计算：将样本均值、标准差、样本容量等参数代入相应的公式计算置信区间。

通过以上步骤和公式，可以有效地计算出总体参数的置信区间。