函数极限的六种严格定义如下：

直接代入法：

如果有极限，直接代入即可确定极限值。

夹逼定理：

如果存在两个函数 $g（x）$ 和 $h（x）$，使得当 $x$ 趋近于 $a$ 时，有 $g（x） \leq f（x） \leq h（x）$，且 $\lim_{x \to a} g（x） = \lim_{x \to a} h（x） = L$，则 $\lim_{x \to a} f（x） = L$。

单调有界准则：

如果函数 $f（x）$ 在区间 $（a, b）$ 上单调且有界，则函数 $f（x）$ 在 $x$ 趋近于 $b$ 时的左极限存在。

柯西收敛准则：

函数 $f（x）$ 在 $x = a$ 处有极限的充分必要条件是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，有 $|f（x） - f（a）| < \varepsilon$。

左右极限相等准则：

若函数 $f（x）$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时的左极限和右极限都存在且相等，即 $\lim_{x \to a^-} f（x） = \lim_{x \to a^+} f（x） = L$，则称函数 $f（x）$ 在 $x = a$ 处有极限，且极限值为 $L$。

洛必达法则：

当函数的极限形式为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 时，且分子分母的导数存在，可以利用洛必达法则求极限。

这些定义和准则为理解和证明函数极限提供了强有力的工具。在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解极限。