解三元一次方程组的基本思路是通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。具体步骤如下：
利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组 。解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值
。
将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值。
举例说明
例1
解方程组：
\[
\begin{cases}
x + y + z = 10 \quad （1） \\
2x + y - z = 5 \quad （2） \\
x - y = 1 \quad （3）
\end{cases}
\]
分析： 此方程组可用代入法先消去 \（ y \），把 （3） 代入 （1），得： \[ 5x + z = 15 \quad （4） \] 解二元一次方程组 \[ \begin{cases} 5x + z = 15 \quad （4） \\ 2x + y - z = 5 \quad （2） \end{cases} \] 将 （4） 代入 （2）： \[ 2x + y - （15 - 5x） = 5 \\ 2x + y - 15 + 5x = 5 \\ 7x + y = 20 \quad （5） \] 解 （5） 和 （3）： \[ \begin{cases} 7x + y = 20 \\ x - y = 1 \end{cases} \] 将 （3） 代入 （5）： \[ 7x + （x + 1） = 20 \\ 8x + 1 = 20 \\ 8x = 19 \\ x = 2 \] 将 \（ x = 2 \） 代入 （3）： \[ 2 - y = 1 \\ y = 1 \] 将 \（ x = 2 \）, \（ y = 1 \） 代入 （1）： \[ 2 + 1 + z = 10 \\ z = 7 \] 所以，方程组的解为： \[ \boxed{（2, 1, 7）} \] 例2 解方程组： \[ \begin{cases} x + y + z = 10 \quad （1） \\ 2x + y - z = 5 \quad （2） \\ x - y = 1 \quad （3） \end{cases} \] 分析
解：
\[
（1） + （2） + （3） 得：
\[
4x + 2y = 16 \\
2x + y = 8 \quad （4）
\]
\[
（1） - （2） 得：
\[
2z = 9 \\
z = \frac{9}{2}
\]
将 \（ z = \frac{9}{2} \） 代入 （1）：
\[
x + y + \frac{9}{2} = 10 \\
x + y = \frac{11}{2} \quad （5）
\]
将 （5） 代入 （4）：
\[
2x + y = 8 \\
2x + \frac{11}{2} - x = 8 \\
x + \frac{11}{2} = 8 \\
x = \frac{5}{2}
\]
将 \（ x = \frac{5}{2} \） 代入 （5）：
\[
\frac{5}{2} + y = \frac{11}{2} \\
y = 3
\]
所以，方程组的解为：
\[
\boxed{\left（ \frac{5}{2}, 3, \frac{9}{2} \right）}
\]
通过
