三元一次方程的简便解法主要包括 消元法和 代入法。以下是这两种方法的详细步骤：

消元法

选择消元变量：从方程组中选择两个较为简单的方程，将其中一个未知数的系数设为0，另一个不为0，从而将这两个方程转化为关于两个未知数的方程组。

解二元一次方程组：使用二元一次方程组的解法（如代入法、加减消元法等）解出剩下的两个未知数。

代入求解第三个未知数：将已求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个含有三个未知数的方程中，解出第三个未知数。

代入法

选择一个简单的变量：将其表示为其他变量的函数，然后将其代入原方程中，得到一个或两个一元一次方程。

消去两个变量：通过消除两个变量，将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。

解二元一次方程组或一元一次方程：使用二元一次方程组的解法或一元一次方程的解法求解得到结果。

示例

解方程组：

\[

\begin{cases}

x + y + z = 10 \\

2x - y + 3z = 5 \\

x - y = 1

\end{cases}

\]

消元法

选择第二个方程和第三个方程消去 \（ y \）：

\[

（2x - y + 3z） - （x - y） = 5 - 1 \\

x + 3z = 4

\]

选择第一个方程和第三个方程消去 \（ y \）：

\[

（x + y + z） - （x - y） = 10 - 1 \\

2y + z = 9

\]

解二元一次方程组：

\[

\begin{cases}

x + 3z = 4 \\

2y + z = 9

\end{cases}

\]

从第一个方程解出 \（ x \）：

\[

x = 4 - 3z

\]

将 \（ x = 4 - 3z \） 代入第三个方程：

\[

4 - 3z - y = 1 \\

y = 3 - 3z

\]

将 \（ y = 3 - 3z \） 代入第二个方程：

\[

2（3 - 3z） + z = 9 \\

6 - 6z + z = 9 \\

-5z = 3 \\

z = -\frac{3}{5}

\]

将 \（ z = -\frac{3}{5} \） 代入 \（ x = 4 - 3z \）：

\[

x = 4 - 3\left（-\frac{3}{5}\right） \\

x = 4 + \frac{9}{5} \\

x = \frac{20}{5} + \frac{9}{5} \\

x = \frac{29}{5}

\]

将 \（ z = -\frac{3}{5} \） 代入 \（ y = 3 - 3z \）：

\[

y = 3 - 3\left（-\frac{3}{5}\right） \\

y = 3 + \frac{9}{5} \\

y = \frac{15}{5} + \frac{9}{5} \\

y = \frac{24}{5}

\]

解集为：

\[

\left\{ x = \frac{29}{5}, y = \frac{24}{5}, z = -\frac{3}{5} \right\}

\]

代入法

从第三个方程解出 \（ x \）：

\[

x = y + 1

\]

将 \（ x = y + 1 \） 代入第一个方程：

\[

（y + 1） + y + z = 10 \\

2y + 1 + z = 10 \\

2y + z = 9

\]

将 \（ x = y +