三元一次方程组的解法主要有以下几种：

代入法

从方程组中选取一个相对简单的等式进行单独解析，将一个变量表示出来。

将这个变量代入到其他两个等式中，将三元一次方程组简化为两个关于另外两个变量的二元一次方程组。

依次解出这两个二元一次方程组中的变量，最终得到三元一次方程组的解。

消元法

通过使某一未知数在某些方程中的系数相等或互为相反数，从而将方程中的未知数消去，最终得到一个关于剩余未知数的一元一次方程。

具体操作时，可以先通过加减消元法或者乘除消元法来简化方程。

将简化后得到的新二元一次方程或一元一次方程再代入求解其他未知数。

联立方程求解

对于三元一次方程组，需要联立三个方程进行求解。

具体步骤如下：

从三个方程中选取两个方程，尝试通过消元法或代入法求解一个未知数。

将求得的未知数代入第三个方程，求解其他未知数。

重复上述步骤，直到求出所有未知数的值。

需要注意的是，方程组要有解，否则可能无解。

示例

考虑以下三元一次方程组：

\[

\begin{cases}

x + y + z = 10 \quad （1） \\

2x + y - z = 5 \quad （2） \\

x - y = 1 \quad （3）

\end{cases}

\]

解法步骤：

消元

将方程（1）和方程（2）相减，消去 \（ z \）：

\[

（1） - （2）: \quad -x + 2z = 5 \quad （4）

\]

将方程（3）代入方程（4）中，消去 \（ x \）：

\[

（3）: \quad x = 1

\]

将 \（ x = 1 \） 代入方程（3）中，求出 \（ y \）：

\[

1 - y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 0

\]

将 \（ x = 1 \） 和 \（ y = 0 \） 代入方程（1）中，求出 \（ z \）：

\[

1 + 0 + z = 10 \quad \Rightarrow \quad z = 9

\]

解：

\[

x = 1, \quad y = 0, \quad z = 9

\]

通过以上步骤，我们成功求解了该三元一次方程组。