二次函数顶点式中的 $k$ 是抛物线顶点的纵坐标，其求解方法主要有以下两种途径：

一、直接根据顶点式求解

二次函数的顶点式为：

$$y = a(x - h)^2 + k$$

其中 $（h, k）$ 即为顶点坐标。因此，$k$ 的值直接由顶点坐标给出。

二、通过一般式推导

对于二次函数的一般式：

$$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

可以通过配方法推导出顶点坐标 $（h, k）$，其中：

$$k = \frac{4ac - b^2}{4a}$$

具体推导过程如下：

1. 提出系数 $a$：

$$y = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c$$

2. 配方：

$$y = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$$

$$y = a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$$

3. 化简：

$$y = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \left( c - \frac{b^2}{4a} \right)$$

从而顶点坐标为：

$$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}$$

三、应用示例

已知二次函数顶点为 $（1, 2）$，且过点 $（3, 10）$，求解析式：

1. 设顶点式：

$$y = a(x - 1)^2 + 2$$

2. 代入已知点 $（3, 10）$：

$$10 = a(3 - 1)^2 + 2$$

$$10 = 4a + 2$$

$$4a = 8$$

$$a = 2$$

3. 最终解析式：

$$y = 2(x - 1)^2 + 2$$

通过以上方法，可以灵活运用顶点式或一般式求解二次函数顶点坐标中的 $k$ 值。