夹逼定理（也称为夹逼准则）是一种用于确定函数极限的方法。它表明，如果一个函数 $f（x）$ 被两个函数 $g（x）$ 和 $h（x）$ 夹在中间，即对于所有 $x$ 在某个区间内，都有 $g（x） \leq f（x） \leq h（x）$，并且 $\lim_{x \to c} g（x） = \lim_{x \to c} h（x） = L$，那么 $\lim_{x \to c} f（x） = L$。

使用夹逼定理的步骤

确定夹逼关系

找到两个函数 $g（x）$ 和 $h（x）$，使得对于所有 $x$ 在考虑的区间内，都有 $g（x） \leq f（x） \leq h（x）$。

计算极限

分别计算 $\lim_{x \to c} g（x）$ 和 $\lim_{x \to c} h（x）$。

应用夹逼定理

如果 $\lim_{x \to c} g（x） = \lim_{x \to c} h（x） = L$，那么 $\lim_{x \to c} f（x） = L$。

示例

假设我们要计算以下极限：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1}$$

确定夹逼关系

左边：$\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + n} = \frac{\frac{n（n+1）}{2}}{n^2 + 2n}$

右边：$\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1} = \frac{\frac{n（n+1）}{2}}{n^2 + n + 1}$

化简

左边：$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{n^2 + 2n} = \frac{n（n+1）}{2（n^2 + 2n）} = \frac{n^2 + n}{2n^2 + 4n}$

右边：$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{n^2 + n + 1} = \frac{n（n+1）}{2（n^2 + n + 1）} = \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2n + 2}$

计算极限

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{4}{n}} = \frac{1}{2}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{2}$

应用夹逼定理

因为 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2n + 2} = \frac{1}{2}$，所以 $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1} = \frac{1}{2}$。

通过上述步骤，我们可以看到夹逼定理如何用于确定函数极限。关键在于找到合适的 $g（x）$ 和 $h（x）$ 使得 $f（x）$ 被夹在中间，并且计算出它们的极限。