等比数列的求和公式如下：

当公比 \（ q

eq 1 \） 时 ：

\[ S_n = \frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} \]

其中，\（ a_1 \） 是首项，\（ q \） 是公比，\（ n \） 是项数。

当公比 \（ q = 1 \） 时

\[ S_n = n \times a_1 \]

即，所有项都相等，求和结果就是项数乘以首项。

推导过程

求和公式的推导通常基于等比数列的性质和等比数列前 \（ n \） 项和的定义。通过以下步骤可以推导出上述公式：

1. 设等比数列的前 \（ n \） 项和为 \（ S_n \）：

\[ S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} \]

2. 将上式两边同时乘以公比 \（ q \）：

\[ q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n \]

3. 用第1式减去第2式：

\[ S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n \]

\[ （1 - q） S_n = a_1 （1 - q^n） \]

4. 解出 \（ S_n \）：

\[ S_n = \frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} \]

这个公式适用于 \（ q

eq 1 \） 的情况。当 \（ q = 1 \） 时，等比数列变为等差数列，每项都相等，因此求和结果就是项数乘以首项。

应用

等比数列求和公式在许多数学和实际应用中都非常重要，例如在计算金融产品的复利、分析放射性物质的衰变、研究人口增长模型等。通过使用这个公式，可以快速有效地计算出等比数列的前 \（ n \） 项和。