排列（Permutation）和组合（Combination）是数学中常见的两种计数方法。

排列（Permutation）

排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的方法数。排列的数目用符号A（n,m）表示，计算公式为：

\[ A（n,m） = \frac{n!}{（n-m）!} \]

其中n!表示n的阶乘，即n（n-1）（n-2）...（2）（1）。

例题：计算A（4,2）

\[ A（4,2） = \frac{4!}{（4-2）!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12 \]

组合（Combination）

组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑排序的方法数。组合的数目用符号C（n,m）表示，计算公式为：

\[ C（n,m） = \frac{n!}{m!（n-m）!} \]

例题：计算C（4,2）

\[ C（4,2） = \frac{4!}{2!（4-2）!} = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

循环排列数

循环排列数是指从n个元素中取出m个元素进行循环排列的方法数，计算公式为：

\[ A（n,m） = \frac{n!}{（n-m）!} \]

例题：计算循环排列数A（5,3）

\[ A（5,3） = \frac{5!}{（5-3）!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

多类元素的全排列数

如果n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...,nk，这n个元素的全排列数为：

\[ A（n,n1,n2,...,nk） = \frac{n!}{n1! \times n2! \times ... \times nk!} \]

例题：计算3个元素分成两类，一类2个，另一类1个的全排列数

\[ A（3,2,1） = \frac{3!}{2! \times 1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \]

总结

排列和组合是解决计数问题的基本工具，理解它们的计算公式和区别对于解决实际问题非常重要。通过上述例题，我们可以看到排列强调元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。在实际应用中，选择合适的计数方法可以更有效地解决问题。