长方形

面积公式：$S = a \times b$

推导公式：将长方形分割成许多个小正方形，每个小正方形的边长为长方形的宽度或长度，因此长方形的面积等于所有小正方形的面积之和。

正方形

面积公式：$S = a^2$

推导公式：正方形是长方形的特殊形式，其边长等于宽度，因此面积等于边长的平方。

三角形

面积公式：$S = \frac{1}{2} \times a \times h$

推导公式：将三角形沿着高分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形的面积为底乘以高除以2，因此原三角形的面积为这两个直角三角形面积之和。

梯形

面积公式：$S = \frac{1}{2} \times （a + b） \times h$

推导公式：梯形可以分割成一个矩形和两个直角三角形，矩形的面积为上底加下底乘以高除以2，两个直角三角形的面积分别为底乘以高除以2，因此梯形的面积等于这三个部分面积之和。

平行四边形

面积公式：$S = a \times h$

推导公式：平行四边形可以分割成两个全等的三角形，每个三角形的面积为底乘以高除以2，因此平行四边形的面积等于两个三角形面积之和。

圆形

面积公式：$S = \pi \times r^2$

推导公式：将圆分割成多个等份，分割的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的长度等于圆周长的一半，宽度等于圆的半径，因此圆的面积等于长方形的面积，即长乘以宽。

圆柱体

表面积公式：$S = 2\pi r（r + h）$

体积公式：$V = \pi r^2 h$

推导公式：圆柱体的表面积包括两个底面圆的面积和侧面积。底面圆的面积为$\pi r^2$，两个底面圆的总面积为$2\pi r^2$。侧面积等于底面周长乘以高，即$2\pi r \times h$。因此，圆柱体的表面积为$2\pi r^2 + 2\pi r \times h$。体积公式为底面积乘以高，即$\pi r^2 \times h$。

圆锥体

表面积公式：$S = \pi r（r + l）$

体积公式：$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

推导公式：圆锥体的表面积包括底面圆的面积和侧面积。底面圆的面积为$\pi r^2$。侧面积等于底面周长乘以母线长的一半，即$\pi r \times l$。因此，圆锥体的表面积为$\pi r^2 + \pi r \times l$。体积公式为底面积乘以高再除以3，即$\frac{1}{3} \pi r^2 \times h$。

这些公式和推导过程涵盖了常见的几何图形，有助于理解和计算不同图形的面积。