首先，我们设 $t = \frac{1}{n}$，这样当 $n \to \infty$ 时，$t \to 0$。

原极限可以转化为：

$\lim_{{n \to \infty}} \left（ \frac{1}{n} \sin n - n \sin \frac{1}{n} \right） = \lim_{{t \to 0}} \left（ t \sin \frac{1}{t} - \frac{\sin t}{t} \right）$

接下来，我们分别考虑两个部分的极限。

1. 对于 $\lim_{{t \to 0}} t \sin \frac{1}{t}$，由于 $\sin \frac{1}{t}$ 是有界函数（其值域为 $[-1, 1]$），而 $t$ 是无穷小量（当 $t \to 0$ 时），因此 $t \sin \frac{1}{t}$ 也是无穷小量。即：

$\lim_{{t \to 0}} t \sin \frac{1}{t} = 0$

2. 对于 $\lim_{{t \to 0}} \frac{\sin t}{t}$，这是一个典型极限，其值为 1。即：

$\lim_{{t \to 0}} \frac{\sin t}{t} = 1$

最后，将两部分相减，得到：

$\lim_{{t \to 0}} \left（ t \sin \frac{1}{t} - \frac{\sin t}{t} \right） = 0 - 1 = -1$

因此，原极限 $\lim_{{n \to \infty}} \left（ \frac{1}{n} \sin n - n \sin \frac{1}{n} \right） = -1$。