等差数列的立方和公式推导过程如下：

公式表示

我们需要推导的是前n个自然数的立方和，即公式：

\[

1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3

\]

观察规律

每一项的立方可以表示为连续的奇数之和。例如：

\[

1^3 = 1 = 1

\]

\[

2^3 = 8 = 1 + 3 + 5

\]

\[

3^3 = 27 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

\]

由此可以推测，前n项的立方和可以表示为前n个奇数的和。

奇数和公式

前n个奇数的和可以表示为：

\[

1 + 3 + 5 + \ldots + （2n-1）

\]

这个和是一个等差数列，其首项为1，末项为2n-1，项数为n。根据等差数列求和公式：

\[

S = \frac{n}{2} \times （首项 + 末项） = \frac{n}{2} \times （1 + （2n-1）） = \frac{n}{2} \times 2n = n^2

\]

立方和公式

因此，前n个自然数的立方和为：

\[

1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2

\]

而前n项平方和的公式为：

\[

\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n（n+1）（2n+1）}{6}

\]

结论

所以，等差数列前n项的立方和公式为：

\[

1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left（ \frac{n（n+1）}{2} \right）^2

\]

综上所述，通过观察和推导，我们得到了等差数列前n项的立方和公式为：

\[

1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left（ \frac{n（n+1）}{2} \right）^2

\]