带电粒子在电场中的偏转公式推导如下：

基本假设

带电粒子以速度 $v_0$ 垂直于匀强电场方向进入电场。

电场强度为 $E$，板间距离为 $d$，电压为 $U$。

电场中的受力

带电粒子在电场中受到的电场力 $F = qE$，方向与电场方向相同。

运动分解

粒子在电场中的运动可以分解为两个方向：垂直于电场方向和平行于电场方向。

由于电场力只对垂直于电场方向的速度分量产生作用，我们只需考虑垂直于电场方向的运动。

垂直于电场方向的运动

粒子在垂直于电场方向上的加速度 $a = \frac{qE}{m}$。

粒子在垂直于电场方向上的位移 $\Delta y = \frac{1}{2}at^2$。

时间计算

粒子在电场中的运动时间 $t = \frac{d}{v_0}$。

位移公式推导

将 $t$ 代入 $\Delta y$ 的公式中，得到：

$$

\Delta y = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{d}{v_0} \right)^2 = \frac{qEd^2}{2mv_0^2}

$$

水平方向的运动

水平方向不受力，粒子做匀速直线运动，水平位移 $x = v_0 t = v_0 \frac{d}{v_0} = d$。

速度偏转角的正切值

速度偏转角的正切值 $\tan \theta = \frac{\Delta y}{x} = \frac{\frac{qEd^2}{2mv_0^2}}{d} = \frac{qEd}{2mv_0^2}$。

综上所述，带电粒子在匀强电场中的偏转公式为：

$$

\Delta y = \frac{qEd^2}{2mv_0^2}

$$

这个公式描述了带电粒子在匀强电场中偏转的距离与电场强度、粒子电荷量、粒子速度和偏转距离等因素的关系。