arcsiny的导数公式为：

$$

\frac{d}{dy}(\arcsin y) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}

$$

推导过程：

反函数关系

设 $y = \arcsin x$，则 $x = \sin y$。根据反函数求导法则，导数关系为：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

$$

求导数

已知 $\frac{dx}{dy} = \cos y$，而 $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$（因为 $x = \sin y$），所以：

$$

\frac{dx}{dy} = \sqrt{1 - x^2}

$$

反函数导数

将 $\frac{dx}{dy}$ 代入反函数导数公式：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

变量替换

由于 $x$ 和 $y$ 只是变量符号，可以将 $x$ 替换为 $y$，得到：

$$

\frac{d}{dy}(\arcsin y) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}

$$

注意事项：

该公式仅在 $y$ 的取值范围 $[-1, 1]$ 内有效，对应 $x$ 的范围为 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

若使用 $x$ 作为自变量（即 $y = \arcsin x$），则导数公式为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。

通过以上推导，可以清晰地理解反三角函数导数的来源和适用范围。