对勾函数 $f（x） = x + \frac{a}{x}$（其中 $x > 0$ 和 $a > 0$）的最值点可以通过求导和分析函数的单调性来确定。

求导数

首先，我们对函数 $f（x） = x + \frac{a}{x}$ 求导，得到：

$$f'(x) = 1 - \frac{a}{x^2}$$

求导数为零的点

令 $f'（x） = 0$，解方程：

$$1 - \frac{a}{x^2} = 0$$

$$\frac{a}{x^2} = 1$$

$$x^2 = a$$

$$x = \sqrt{a}$$ （由于 $x > 0$，我们只考虑正根）

验证极值点

为了确定 $x = \sqrt{a}$ 是极小值点，我们可以检查二阶导数：

$$f''(x) = \frac{2a}{x^3}$$

在 $x = \sqrt{a}$ 处，$f''（\sqrt{a}） = \frac{2a}{（\sqrt{a}）^3} = \frac{2a}{a\sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}} > 0$，因此 $x = \sqrt{a}$ 是极小值点。

计算极小值

将 $x = \sqrt{a}$ 代入原函数 $f（x）$，得到：

$$f(\sqrt{a}) = \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$$

因此，当 $x > 0$ 时，函数 $f（x） = x + \frac{a}{x}$ 的最小值为 $2\sqrt{a}$，在 $x = \sqrt{a}$ 处取得最小值。

由于对勾函数是奇函数，即 $f（-x） = -f（x）$，所以当 $x < 0$ 时，函数在 $x = -\sqrt{a}$ 处取得最大值 $-2\sqrt{a}$。

建议

对于对勾函数 $f（x） = x + \frac{a}{x}$：

当 $x > 0$ 时，函数的最小值为 $2\sqrt{a}$，在 $x = \sqrt{a}$ 处取得。

当 $x < 0$ 时，函数的最大值为 $-2\sqrt{a}$，在 $x = -\sqrt{a}$ 处取得。