三角函数常用公式是数学中非常重要的内容，涵盖基本关系、和差公式、倍角公式等。以下是综合整理的核心公式及说明：

一、基本关系式

平方关系

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$$

$$1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha$$

商数关系

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

$$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

诱导公式

- 终边相同：$\sin（2k\pi + \alpha） = \sin\alpha$，$\cos（2k\pi + \alpha） = \cos\alpha$

- 平移公式：$\sin（\pi + \alpha） = -\sin\alpha$，$\cos（\pi + \alpha） = -\cos\alpha$

- 奇偶性：$\sin（-\alpha） = -\sin\alpha$，$\cos（-\alpha） = \cos\alpha$

二、和差公式

两角和与差

$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$

$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$

$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$

三角和公式

$$\sin(A + B + C) = \sin A \cos B \cos C + \cos A \sin B \cos C - \sin A \sin B \sin C$$

三、倍角公式

二倍角

$$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$$

$$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$$

$$\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$$

三倍角与四倍角

$$\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A$$

$$\cos 4A = 1 - 8\cos^2 A + 8\cos^4 A$$

$$\tan 4A = \frac{4\tan A - 4\tan^3 A}{1 - 6\tan^2 A + \tan^4 A}$$

四、积化和差公式

正弦与余弦

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$$

$$\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)]$$

$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$$

$$\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]$$

五、辅助角公式

$$A\sin\alpha + B\cos\alpha = \sqrt{A^2 + B^2}\sin(\alpha + \varphi)$$

其中 $\tan\varphi = \frac{B}{A}$

六、半角公式

$$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$$

$$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$$

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$$

符号由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限决定

七、万能公式

$$\sin