反函数的计算方法可分为以下步骤，并结合具体函数类型进行说明：
一、反函数的定义与性质
定义 若函数$y = f（x）$存在反函数，则满足：对于值域$C$中的任意$y$，在定义域$A$中有唯一$x$使得$f（x） = y$。反函数记作$x = f^{-1}（y）$或$y = f^{-1}（x）$。
定义域与值域互换
原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。例如，$y = \sin x$的定义域为$R$，值域为$[-1, 1]$，其反函数$y = \arcsin x$的定义域为$[-1, 1]$，值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
二、具体计算步骤
反解（代数操作）
将$y = f（x）$视为关于$x$的方程，解出$x$关于$y$的表达式。例如：
对于$y = \sqrt{1 - x}$，平方两边得$y^2 = 1 - x$，解得$x = 1 - y^2$，反函数为$y = 1 - x^2$（定义域$x \geq 0$）。
互换变量
将$x$与$y$互换位置，得到反函数表达式。例如，将$x = 1 - y^2$互换后得$y = 1 - x^2$。
确定定义域
反函数的定义域为原函数的值域。例如，$y = \sqrt{1 - x}$的值域为$[0, +\infty）$，故反函数$y = 1 - x^2$的定义域为$x \geq 0$。
三、注意事项
单调性
仅当原函数是单调函数时，反函数存在且唯一。例如$y = x^2$（$x \geq 0$）的反函数为$y = \sqrt{x}$，但$y = x^2$整体不是单调函数，其反函数需限定定义域。
特殊函数
对数函数与指数函数： 互为反函数，如$y = \log_a x$与$y = a^x$，定义域与值域互换。 三角函数与反三角函数
四、示例总结
| 原函数 | 反函数 | 定义域 | 值域 |
|--------------|----------------|-----------------|----------------|
| $y = \sqrt{1 - x}$ | $y = 1 - x^2$ | $x \geq 0$ | $y \geq 0$|
| $y = 2x + 1$ | $y = \frac{x - 1}{2}$ | $R$| $R$|
| $y = \ln x$| $y = e^x$ | $（0, +\infty）$ | $R$|
通过以上步骤和注意事项，可系统求解反函数。若遇到复杂函数，建议结合图像法或数值计算工具辅助分析。
