Z变换（Z-transformation）是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的数学工具。它在离散系统分析中起着重要作用，类似于拉普拉斯变换在连续系统分析中的作用。Z变换的基本原理包括以下几点：

定义

Z变换是对离散序列进行的一种数学变换，将时域中的离散信号x（n）转换为复平面上的函数X（z）。

Z变换的公式为：

$$

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}

$$

其中，z是一个复变量，通常表示为极坐标形式，即$z = r e^{j\theta}$，其中r是模，$\theta$是相角。

收敛域（ROC）

Z变换的收敛域是复平面上的一个区域，在这个区域内，变换结果是收敛的。ROC的确定方法包括计算序列的极限、利用序列的傅里叶变换等。

Z反变换

通过部分分式展开，可以将有理函数形式的X（z）转换回时域序列x（n）。

基本定理

线性定理：函数线性组合的Z变换等于各函数Z变换的线性组合。

滞后定理：时域中的延迟相当于Z域中的乘以$z^{-k}$。

初值定理：当离散时间信号在n=0处有限时，其Z变换在z=1处的值等于该序列在n=0处的值。

终值定理：当离散时间信号的序列在n趋向于无穷大时，其Z变换在z=1处的值等于该序列的极限值。

超前定理：时域中的超前相当于Z域中的乘以$z^{k}$。

复数偏移定理：复数平面的平移不会改变信号的Z变换。

卷积和定理：两个序列的卷积在时域中的和等于它们Z变换的乘积在Z域中的和。

应用

Z变换在数字信号处理、计算机控制系统、滤波器设计、系统分析和控制等领域有着广泛的应用。

通过这些原理和定理，Z变换提供了一种将复杂的离散系统问题转化为代数方程的方法，从而简化了求解过程。