双钩函数（对勾函数）的最值问题可通过以下分析综合解答：

一、函数定义与性质

双钩函数的一般形式为：

$$f(x) = x + \frac{a}{x} \quad (a > 0)$$

奇偶性 ：双钩函数是奇函数，图像关于原点对称。

单调性

在区间 $（-\infty, -a]$ 和 $[a, +\infty）$ 上单调递增；

在区间 $[-a, 0）$ 和 $（0, a]$ 上单调递减。

极值点：

在 $x = \sqrt{a}$ 处取得极小值 $2\sqrt{a}$，在 $x = -\sqrt{a}$ 处取得极大值 $-2\sqrt{a}$。

二、最值求解方法

基本不等式法

对于 $x > 0$，由均值不等式 $x + \frac{a}{x} \geq 2\sqrt{a}$，当且仅当 $x = 1$ 时取等号。 但此方法仅适用于 $x = 1$ 的特殊情况，需结合定义域进一步分析。

导数法

求导得 $f'（x） = 1 - \frac{a}{x^2}$，令 $f'（x） = 0$，解得 $x = \pm\sqrt{a}$。通过导数符号变化确定单调性，从而验证极值点。

图像法

利用双钩函数的对称性和单调性，结合渐近线 $y = x$ 和 $y = 0$，直观判断最值位置。

三、典型应用示例

例1：

已知 $a, b \in \mathbb{R}^+$ 且 $a + b = 1$，求 $ab + \frac{1}{ab}$ 的最小值。- 由均值不等式 $ab \leq \frac{（a+b）^2}{4} = \frac{1}{4}$，令 $x = ab$，则 $f（x） = x + \frac{1}{x}$ 在 $（0, \frac{1}{4}]$ 上单调递减，最小值为 $f（\frac{1}{4}） = \frac{17}{4}$。

例2：求 $y = x + \frac{2^b}{x}$ 的值域为 $[6, +\infty）$ 时 $b$ 的值。- 由极小值条件 $2\sqrt{2^b} = 6$，解得 $b = 4$。

四、注意事项

定义域限制：双钩函数在 $x = 0$ 处无定义，需结合具体问题限定定义域（如 $x > 0$）。

最值类型：由于函数在 $x \to \pm\infty$ 时趋近于无穷，因此无最大值，只有最小值。

综上，双钩函数的最值问题需结合定义域、单调性和极值点综合分析，熟练运用不等式或导数方法求解。