定积分的计算规则和公式如下：

确定积分区间和上下限

首先，需要明确积分的区间，即积分的下限 $a$ 和上限 $b$。

找到被积函数的原函数

原函数 $F（x）$ 是满足 $F'（x） = f（x）$ 的函数，其中 $f（x）$ 是被积函数。

应用牛顿-莱布尼兹公式

定积分的计算公式为：

$$

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)

$$

其中 $F（x）$ 是 $f（x）$ 的一个原函数。

特殊函数的积分公式

对于一些特殊函数，可以直接使用积分基本公式，例如：

$\int 0 \, dx = c$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ （其中 $n \neq -1$）

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + c$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln（a）} + c$

$\int e^x \, dx = e^x + c$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + c$

数值积分方法

当被积函数复杂或无法直接找到原函数时，可以使用数值积分方法，如梯形法、辛普森法等。

示例

计算 $\int_{0}^{1} （x^2 + 2x） \, dx$：

确定积分区间和上下限

区间为 $[0, 1]$，下限 $a = 0$，上限 $b = 1$。

找到被积函数的原函数

$f（x） = x^2 + 2x$，其原函数 $F（x） = \frac{x^3}{3} + x^2$。

应用牛顿-莱布尼兹公式

$$

\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) \, dx = F(1) - F(0) = \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}

$$

通过以上步骤，我们得到了定积分 $\int_{0}^{1} （x^2 + 2x） \, dx$ 的结果为 $\frac{4}{3}$。