解一元二次方程复根的方法主要基于求根公式和复数的性质，具体步骤如下：

一、判别式判断根的类型

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为：

$$

\Delta = b^2 - 4ac

$$

$\Delta > 0$：两个不相等的实数根；

$\Delta = 0$：两个相等的实数根；

$\Delta < 0$：两个共轭复数根。

二、复根的求法

当 $\Delta < 0$ 时，方程的根为共轭复数，其形式为：

$$

x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}

$$

其中 $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。

示例

解方程 $x^2 + 2x + 5 = 0$：

1. 计算判别式：

$$

\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16

$$

2. 代入求根公式：

$$

x = \frac{-2 \pm i\sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

$$

所以，方程的解为 $x = -1 + 2i$ 和 $x = -1 - 2i$。

三、根与系数的关系（韦达定理）

对于复根 $x_1$ 和 $x_2$，满足：

和的关系：

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$；

积的关系：

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。

示例验证

对于方程 $x^2 + 2x + 5 = 0$：

根的和：$（-1 + 2i） + （-1 - 2i） = -2$，符合 $-\frac{2}{1}$；

根的积：$（-1 + 2i）（-1 - 2i） = 1 + 4 = 5$，符合 $\frac{5}{1}$。

四、几何意义（复平面表示）

复根在复平面上对应的点关于实轴对称。例如，$-1 + 2i$ 对应点 $（-1, 2）$，$-1 - 2i$ 对应点 $（-1, -2）$，两点的实部相同，虚部互为相反数。

总结

解复根的关键在于正确使用求根公式，并理解复数的运算规则。通过判别式判断根的类型，再代入公式计算，即可得到复数解。