三角形的边长取值和判定需要满足以下条件：

三角不等式定理

任意两边之和大于第三边。

任意两边之差小于第三边。

具体来说，如果三角形的边长为 $a$、$b$、$c$，那么必须满足以下不等式：

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

如果不满足这些条件，那么无法构成一个三角形。

勾股定理（适用于直角三角形）：

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果 $a$ 和 $b$ 是直角边，$c$ 是斜边，则有 $a^2 + b^2 = c^2$。

余弦定理（适用于任意三角形）：

任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦值。

公式为 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$，同理可得 $\cos B$ 和 $\cos C$。

示例计算

假设已知三角形的两边 $a = 3$ 和 $b = 4$，求第三边 $c$ 的取值范围：

根据三角不等式定理：

$3 + 4 > c$ 即 $c < 7$

$|3 - 4| < c$ 即 $c > 1$

所以，第三边 $c$ 的取值范围是 $1 < c < 7$。

结论

三角形的边长必须满足三角不等式定理。

在直角三角形中，可以使用勾股定理计算边长。

在任意三角形中，可以使用余弦定理计算边长。

这些条件和公式是判断和计算三角形边长的基础。