辅助角公式主要用于将多个三角函数的和或差化简为一个单一的三角函数，以便于求解最值问题。辅助角公式如下：

\[ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left（ x + \arctan \left（ \frac{b}{a} \right） \right） \]

其中，\（ a \） 和 \（ b \） 是常数，\（ x \） 是角度。

使用步骤

确定已知的三角函数值和角度值

确定 \（ a \） 和 \（ b \） 的值。

确定 \（ x \） 的值。

构造辅助角

辅助角 \（\phi\） 可以通过 \（ \tan \phi = \frac{b}{a} \） 来求得。

应用辅助角公式

将 \（ a \sin x + b \cos x \） 代入辅助角公式，得到：

\[ a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left（ x + \phi \right） \]

求解新的三角函数值

根据需要，选择求解的值（如正弦、余弦或正切）。

示例

假设我们有一个表达式 \（ 3 \sin x + 4 \cos x \），我们可以使用辅助角公式来化简它：

确定已知值

\（ a = 3 \）

\（ b = 4 \）

\（ x \） 是未知角度

构造辅助角

\（ \tan \phi = \frac{4}{3} \）

因此，辅助角 \（\phi = \arctan \left（ \frac{4}{3} \right） \）

应用辅助角公式

\[ 3 \sin x + 4 \cos x = \sqrt{3^2 + 4^2} \sin \left（ x + \arctan \left（ \frac{4}{3} \right） \right） \]

\[ 3 \sin x + 4 \cos x = \sqrt{9 + 16} \sin \left（ x + \arctan \left（ \frac{4}{3} \right） \right） \]

\[ 3 \sin x + 4 \cos x = \sqrt{25} \sin \left（ x + \arctan \left（ \frac{4}{3} \right） \right） \]

\[ 3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin \left（ x + \arctan \left（ \frac{4}{3} \right） \right） \]

求解新的三角函数值

现在，我们可以求解 \（ \sin \left（ x + \arctan \left（ \frac{4}{3} \right） \right） \） 的值，并根据需要进一步求解其他三角函数值。

注意事项

在使用辅助角公式时，确保 \（ a > 0 \）。如果 \（ a \leq 0 \），公式需要相应调整。

选择合适的辅助角可以使问题简化，但辅助角的选择需要根据具体问题来定。

在应用辅助角公式时，要注意符号和角度的范围，以免出现错误。

通过以上步骤，你可以利用辅助角公式将复杂的三角函数表达式化简，从而更容易地求解最值问题。