三角函数的积化和差和差化积公式如下：

积化和差公式

1. $\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin（\alpha + \beta） + \sin（\alpha - \beta）]$

2. $\cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin（\alpha + \beta） - \sin（\alpha - \beta）]$

3. $\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos（\alpha + \beta） + \cos（\alpha - \beta）]$

4. $\sin \alpha \cdot \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos（\alpha + \beta） - \cos（\alpha - \beta）]$

差化积公式

1. $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left（\frac{\alpha + \beta}{2}\right） \cos\left（\frac{\alpha - \beta}{2}\right）$

2. $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left（\frac{\alpha + \beta}{2}\right） \sin\left（\frac{\alpha - \beta}{2}\right）$

3. $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left（\frac{\alpha + \beta}{2}\right） \cos\left（\frac{\alpha - \beta}{2}\right）$

4. $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left（\frac{\alpha + \beta}{2}\right） \sin\left（\frac{\alpha - \beta}{2}\right）$

这些公式在处理三角函数问题时非常有用，特别是在求解三角函数的乘积或和差时，可以通过这些公式将问题简化。