如果一个数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，那么它的前 $n$ 项和 $S_n$ 可以表示为：

$$S_n = \frac{n}{2} （2a_1 + （n-1）d）$$

其中 $a_1$ 是数列的首项，$d$ 是公差。

我们定义一个新的数列 $\{b_n\}$，其中 $b_n = \frac{S_n}{n}$。将 $S_n$ 的表达式代入 $b_n$ 的定义中，我们得到：

$$b_n = \frac{1}{n} \left（ \frac{n}{2} （2a_1 + （n-1）d） \right） = \frac{2a_1 + （n-1）d}{2}$$

简化后得到：

$$b_n = a_1 + \frac{（n-1）d}{2}$$

这个表达式表明，数列 $\{b_n\}$ 的第 $n$ 项是首项 $a_1$ 加上 $\frac{d}{2}$ 乘以 $（n-1）$。这是一个关于 $n$ 的一次函数，因此数列 $\{b_n\}$ 本身也是一个等差数列，其首项为 $a_1$，公差为 $\frac{d}{2}$。

为了验证这一点，我们可以计算相邻两项的差：

$$b_{n+1} - b_n = \left（ a_1 + \frac{nd}{2} \right） - \left（ a_1 + \frac{（n-1）d}{2} \right） = \frac{d}{2}$$

由于 $b_{n+1} - b_n$ 是一个常数 $\frac{d}{2}$，这证明了数列 $\{b_n\}$ 是等差的，其公差为 $\frac{d}{2}$。

因此，如果 $\{a_n\}$ 是等差数列，那么数列 $\{\frac{S_n}{n}\}$ 也是等差数列。