二次函数的顶点式是一种重要的表达式形式，用于描述抛物线的顶点和对称轴。顶点式的标准形式为：

\[ y = a（x - h）^2 + k \]

其中，\（ （h, k） \） 是抛物线的顶点坐标，\（ a \） 决定了抛物线的开口方向和宽度。

顶点式的转化

从一般式到顶点式

一般式的形式为：

\[ y = ax^2 + bx + c \]

通过配方法，我们可以将其转化为顶点式。具体步骤如下：

\[ y = ax^2 + bx + c \]

\[ y = a\left（x^2 + \frac{b}{a}x\right） + c \]

\[ y = a\left（x^2 + \frac{b}{a}x + \left（\frac{b}{2a}\right）^2 - \left（\frac{b}{2a}\right）^2\right） + c \]

\[ y = a\left（\left（x + \frac{b}{2a}\right）^2 - \left（\frac{b}{2a}\right）^2\right） + c \]

\[ y = a\left（x + \frac{b}{2a}\right）^2 - a\left（\frac{b}{2a}\right）^2 + c \]

\[ y = a\left（x + \frac{b}{2a}\right）^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \]

因此，顶点式为：

\[ y = a（x - h）^2 + k \]

其中，\（ h = -\frac{b}{2a} \） 和 \（ k = \frac{4ac - b^2}{4a} \）。

从顶点式到一般式

如果已知顶点式 \（ y = a（x - h）^2 + k \），则可以直接展开得到一般式：

\[ y = a（x^2 - 2hx + h^2） + k \]

\[ y = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k \]

\[ y = ax^2 + bx + c \]

其中，\（ b = -2ah \） 和 \（ c = ah^2 + k \）。

顶点式的应用

顶点式在几何和物理中有广泛的应用，例如：

确定抛物线的顶点位置。

计算抛物线的对称轴。

分析抛物线的开口方向和宽度。

解决与抛物线相关的最值问题。

通过顶点式，我们可以更直观地理解和分析二次函数的图像和性质。