极限运算中常用的七个公式如下：

一、四则运算法则

加法法则

$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$

（需满足 $\lim f（x）$ 和 $\lim g（x）$ 均存在）

减法法则

$$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$$

（需满足 $\lim f（x）$ 和 $\lim g（x）$ 均存在）

乘法法则

$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$

（需满足 $\lim f（x）$ 和 $\lim g（x）$ 均存在）

除法法则

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad (\lim_{x \to a} g(x) \neq 0)$$

（需满足 $\lim f（x）$ 和 $\lim g（x）$ 均存在且 $\lim g（x） \neq 0$）

二、重要极限公式

指数函数

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \quad \text{或} \quad e^x - 1 \sim x \quad (x \to 0)$$

（常用作等价无穷小替换）

三角函数

- $\sin x \sim x \quad （x \to 0）$

- $\tan x \sim x \quad （x \to 0）$

- $\arcsin x \sim x \quad （x \to 0）$

- $\arctan x \sim x \quad （x \to 0）$

（用于简化极限计算）

对数函数

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \quad \text{或} \quad \ln(1 + x) \sim x \quad (x \to 0)$$

（常用作等价无穷小替换）

三、补充说明

等价无穷小替换：

当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$a^x - 1 \sim x \ln a$ 等，可简化计算。

注意事项：若 $\lim f（x）$ 或 $\lim g（x）$ 不存在，则四则运算法则不适用。

以上公式需注意其适用条件，例如等价无穷小替换仅适用于 $x \to 0$ 的情况。