佳能G12电子变焦镜头卡住不开机的问题，可以尝试以下几种方法解决：

检查电池电量

镜头卡住的一个常见原因是电池电量不足。当相机电池电量低时，镜头可能无法正常工作，导致卡住的情况发生。因此，当遇到镜头卡住时，第一步应该是检查电池电量。如果电量不足，应当及时更换或充电电池，并重新启动相机。

轻轻扭动镜头

如果电池电量正常，但镜头仍然卡住，可以尝试轻轻扭动镜头，以尝试解除卡住的状态。需要注意的是，扭动力度不宜过大，以免造成更严重的损坏。同时，可以尝试开关相机几次，有时候这样做也能让镜头重新回到正常状态。

使用专业工具

若以上方法无法解决问题，就需要考虑使用专业工具。可以尝试使用一些专门针对相机镜头卡住问题的工具，比如特制的扳手或者手动镜头旋转器。在使用这些工具时，务必小心谨慎，避免给镜头或相机造成不可逆的损坏。

寻求专业维修

如果经过多次尝试仍然无法解决镜头卡住的问题，建议及时寻求专业的相机维修人员进行检查和修复。可能的问题包括镜头内部的马达或镜片损坏，这类问题通常需要专业维修人员的帮助。

希望这些方法能帮助你解决佳能G12电子变焦镜头卡住的问题。如果问题依然存在，建议尽快送到佳能维修店进行专业检查和维修。