"No Smoking" 是正确的表达，它是一个 祈使句，用于指示或命令某人不要吸烟。在这个短语中，“no”是形容词，用来修饰后面的动名词“smoking”，构成一个完整的否定意义。

相对地，“Not Smoking” 在语法上是不正确的，因为“not”是副词，它应该修饰动词或副词，而不是动名词。因此，“Not Smoking” 不能单独使用来表示禁止吸烟的意思。

总结：

"No Smoking" 是正确的表达，用于指示禁止吸烟。

"Not Smoking" 是不正确的表达，因为“not”不能修饰动名词。