勾股定理的公式主要包括以下几种：

基本公式

$a^2 + b^2 = c^2$，其中 $a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。

勾股数的通式

$（3, 4, 5）, （6, 8, 10）, \ldots, （3n, 4n, 5n）$，其中 $n$ 是正整数。

$（5, 12, 13）, （7, 24, 25）, （9, 40, 41）, \ldots, （2n+1, 2n^2+2n, 2n^2+2n+1）$，其中 $n$ 是正整数。

$（8, 15, 17）, （12, 35, 37）, \ldots, （2^2（n+1）, [2（n+1）]^2-1, [2（n+1）]^2+1）$，其中 $n$ 是正整数。

$（m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2）$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $m > n$。

反勾股定理

如果 $c^2 - a^2 = b^2$，则可以求出 $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ 和 $b = \sqrt{c^2 - a^2}$。

这些公式涵盖了勾股定理的基本应用和常见特殊情况，适用于各种直角三角形的边长计算和验证。