贝塔斯曼、韩寒和榕树下的关系如下：

贝塔斯曼与榕树下的合作

2002年，国际传媒巨头贝塔斯曼收购了榕树下65%的股份，并在路金波的主导下，与榕树下共同成立了“贝榕书业”。

贝榕书业陆续出版了韩寒的《一座城池》《光荣日》《他的国》等著作。

韩寒与榕树下的关系

韩寒是路金波旗下的作家，路金波是榕树下的经营者。

韩寒的博客在2006年“德国之声”博客大奖赛的提名名单上。

韩寒的小说《零下一度》中提到了榕树下的“蚊子”。

贝塔斯曼的退出与榕树下的转手

贝塔斯曼在2006年以500万美元将榕树下转手给了欢乐传媒。

2009年，榕树下被盛大文学收购。

2015年，榕树下随盛大并入阅文集团。

综上所述，贝塔斯曼曾控股榕树下，并与之合作成立了贝榕书业，韩寒作为路金波旗下的作家，与榕树下有着密切的合作关系。