儿童之家通常归属于 民政部门负责管理和运营。具体到不同地区，可能会有不同的负责部门，但主要工作都由民政部门承担。以下是一些具体的例子：

曲麻莱县：

由曲麻莱县民政局通过福利彩票公益金支持建设，并在多个社区设立“儿童之家”。

丽水市秀山小学：

由市民政局局长、省民政厅儿童福利处处长等领导进行调研，表明民政部门在儿童之家建设及运行中起到关键作用。

定日县措果乡塘仁村、曲洛乡措娃村：

由西藏星光社会工作服务中心在浙江省壹加壹公益基金会的资助下建立，虽然涉及多个组织，但主要工作仍由当地民政部门协调和支持。

包河区：

由区关工委、区政府妇儿工委办牵头，区妇联、区委老干局、区文明办、团区委、区教体局、区民政局、区财政局等部门共同参与，说明民政部门在儿童之家项目中起到组织和协调作用。

北代镇前西代村：

由河北省妇儿工委办公室研究确定入选河北省儿童之家建设试点，表明民政部门在儿童之家建设试点工作中起到关键作用。

综上所述，儿童之家主要归属于民政部门负责管理和运营，具体实施过程中可能会涉及教育、共青团、社会工作服务中心等多个部门的协作。